Solusi SPL

Solusi spl ???

Dengan Menggunakan Solusi Tunggal .Jadi Kita Bisa Menggunakan Solusi Tunggal, Dimana Solusi Tunggal Ini Nanti Hasil Akhir Yang Keluar Yaitu Berupa Semua Variabel Yang Ada, Karna Semua Variabel Mempunyai Nilai.

Metode Penentuan Jawab Yaitu :

• Metode Crammer

         
Kaidah Cramer adalah rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini menggunakan determinan suatu matriks dan matriks lain yang diperoleh dengan mengganti salah satu kolom dengan vektor yang terdiri dari angka di sebelah kanan persamaannya. Metode ini dinamai dari matematikawan Swiss Gabriel Cramer (1704–1752)
Kaidah Cramer tidak efisien untuk sistem dengan lebih dari dua atau tiga persamaan.Kaidah Cramer juga tidak stabil secara numerik, termasuk untuk sistem 2×2.

• Elimanasi Gauss - Jordan 

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah algoritma versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.
Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan.

• Eliminasi Matriks Invers 

Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat dilihat contohnya sebagai berikut :

• Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear Metode ini dinamai dari matematikawan Carl Friedrich Gauss (1777–1855), walaupun metode ini sudah dikenal oleh matematikawan Tionghoa semenjak tahun 179 M.
Terdapat tiga jenis operasi yang dapat dilakukan dalam metode ini:

1. Mengganti urutan dua baris
2. Mengalikan baris dengan angka yang bukan nol
3. Menambah suatu baris dengan baris yang lainnya

Dengan cara ini, matriks dapat diubah menjadi matriks segitiga atas.

Nilai dan Vektor Eigen

Nilai Eigen (${\displaystyle \lambda }$) adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen (${\displaystyle x}$) adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri.Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks.Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen.Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika Terapan seperti transformasi linear.
Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut.Ruang Eigen dari ${\displaystyle \lambda }$ merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan ${\displaystyle \lambda }$ yang digabungkan dengan vektor nol. Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata ‘’’Eigen’’’ yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti ‘’asli’’ dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.

Persamaan dan Polinomial Karakteristik

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah persamaan dengan variabel λ yang digunakan untuk perhitungan nilai dan vektor Eigen.Polinomial karakteristik (${\displaystyle f(\lambda )}$) adalah fungsi dengan variabel ${\displaystyle \lambda }$ yang membentuk persamaan karakteristik.Persamaan karakteristik bisa diperoleh lewat cara berikut.

${\displaystyle Ax=\lambda x}$

${\displaystyle Ax-\lambda x=0}$

Diketahui sifat identitas matriks di mana ${\displaystyle vI=v}$, maka

${\displaystyle (A-\lambda )x=0}$

${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$

Sehingga diperoleh persamaan karakteristik

${\displaystyle det(A-\lambda I)=0}$

Ket: ${\displaystyle A}$ = matriks n x n, ${\displaystyle \lambda }$ = nilai Eigen (bernilai skalar), ${\displaystyle I}$ = matriks identitas, dan ${\displaystyle x}$ = vektor Eigen (vektor kolom n x 1)

Syarat-syarat

Nilai dan vektor Eigen sendiri memiliki beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:

• ${\displaystyle (A-\lambda I)}$ tidak memiliki invers atau ${\displaystyle det(A-\lambda I)=0}$
• ${\displaystyle x\neq 0}$

Bukti

${\displaystyle x=Ix}$

Asumsikan bahwa A memiliki invers, maka berlaku ${\displaystyle v}$⁻¹${\displaystyle v=I}$.

${\displaystyle x=((A-\lambda I)}$^-1 ${\displaystyle (A-\lambda I))x}$

${\displaystyle x=(A-\lambda I)}$^-1 ${\displaystyle ((A-\lambda I)x)}$

${\displaystyle x=(A-\lambda I)}$^-1 ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle x=0}$

Dari perhitungan di atas, diperoleh ${\displaystyle x=0}$ yang bertentangan dengan salah satu syarat.Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kedua syarat saling mempengaruhi dan tidak boleh dilanggar.

contoh soal

 

Dasar-Dasar SPL Homogen

Sistem Persamaan Linear adalah suatu himpunan berhingga dari persamaan yang peubahnya berpangkat satu, bukan merupakan hasil kali atau akar peubah dan bukan sebagai argument fungsi trigonometri, fungsi logaritma atau fungsi eksponensial.

Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan linear satu variabel adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Bentuk umum untuk persamaan linear adalah:

Y = mx + b

Pada umumnya persamaan linear satu variabel digunakan untuk mencari Himpunan Penyelesaian yang sering disebut Hp. Untuk penyelesaian dari persamaan linear satu variabel dapat digunakan beberapa cara. Salah satu diantaranya dengan sifat kesamaan. Perhatikan uraian persamaan berikut.

Contoh :
3X + 2 = 2X + 6
Mencari nilai X pada persamaan linear satu variabel gunakan cara berikut :
3X + 2 = 2X + 6
3X + 2 – 2 = 2X + 6 – 2 (kedua ruas sama-sama dikurangi 2)
3X = 2X + 4
3X – 2X = 2X + 4 – 2X (kedua ruas sama-sama dikurangi 2X)
X = 4
Jadi, diperoleh nilai X = 4 dan himpunan penyelesaian, Hp = {4}.
Persamaan Linear Dua Variabel
Coba perhatikanlah bentuk persamaaan berikut :

2x + 3y =14

Persamaan-persamaan tersebut memiliki dua variabel yang belum diketahui nilainya. Bentuk inilah yang dimaksud dengan persamaan linear dua variabel. Jadi, persamaan dua variabel adalah persamaan yang hanya memiliki dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah persamaan yang memiliki dua buah persamaan linear dua variabel. Penyelesaian SPLDV dapat ditentukan dengan cara mencari nilai variabel yang memenuhi kedua persamaan linear dua variabel tersebut.Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian SPLDV.

Metode-metode tersebut adalah:
1. Metode Grafik
2. Metode Substitusi
3. Metode Eliminasi
1. Metode Grafik

Grafik untuk persamaan linear dua variabel berbentuk garis lurus. Bagaimana dengan SPLDV..? Ingat, SPLDV terdiri atas dua buah persamaan dua variabel, berarti SPLDV digambarkan berupa dua buah garis lurus. Penyelesaian dapat ditentukan dengan menentukan titik potong kedua garis lurus tersebut.

2. Metode Substitusi

Penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain.

3. Metode Eliminasi

Berbeda dengan metode substitusi yang mengganti variabel, metode eliminasi justru menghilangkan salah satu variabel untuk dapat menentukan nilai variabel yang lain. Dengan demikian, koefisien salah satu variabel yang akan dihilangkan haruslah sama atau dibuat sama.